二分图

简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集 U 和V ，使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。

二分图的匹配

最大匹配：

一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。

完美匹配：

如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配.显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。

交替路：

从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路：

从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。

匈牙利算法

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

例题：

以下内容转自与Dark_Scope的博客：链接

通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（:smile:暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思（好忧伤的感觉快哭了），你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。

本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：

第一步：

先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，got it，连上一条蓝线

第二步：

接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，got it

第三步：

接下来是3号男生，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？

我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。(黄色表示这条边被临时拆掉)

与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配.重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)

此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去

2号男生可以找3号妹子

1号男生可以找2号妹子了

3号男生可以找1号妹子

所以第三步最后的结果就是：

第四步：

接下来是4号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好.

这就是匈牙利算法的流程，其中找妹子是个递归的过程，最最关键的字就是“腾”字

其原则大概是：有机会上，没机会创造机会也要上

代码模板：

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bool find(int x)
{
    int i,j;
    for (j=1;j<=m;j++)
    {    //扫描每个妹子
        if (line[x][j]==true && used[j]==false)
        //如果有暧昧并且还没有标记过(这里标记的意思是这次查找曾试图改变过该妹子的归属问题)
        {
            used[j]=1;
            if (girl[j]==0 || find(girl[j]))
            {
                //名花无主或者能腾出个位置来，这里使用递归
                girl[j]=x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
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int main()
{
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
      memset(used,0,sizeof(used));    //这个在每一步中清空
      if find(i) all+=1;
    }
}

在主程序我们这样做：每一步相当于我们上面描述的一二三四中的一步;